概率公理与运算规则
本文基于模型知识整理（生成时未联网核对），公理化细节建议对照 Blitzstein & Hwang 第 2 章复核。
一句话定义
Kolmogorov 三公理（非负、规范性、可列可加）是概率的唯一宪法；由此可推导出全部运算规则——最常用的加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)（容斥思想）与 De Morgan 律（"至少一个"与"都不"的互译）。
为什么重要
公理是"反直觉结论的仲裁庭"：三门问题、生日问题的答案都能在三公理内一步步推出，直觉没有投票权。同时容斥与 De Morgan 是把复杂事件拆解为可计算零件的两大工具——几乎所有概率计算都从这里出发。
前置知识
kp-001（样本空间与事件）。
核心概念
- 三公理：
1. 非负性：P(A)≥0； 2. 规范性：P(Ω)=1； 3. 可列可加性：互不相容事件列 A₁,A₂,… 满足 P(∪Aᵢ)=ΣP(Aᵢ)。
- 直接推论：P(∅)=0；P(Aᶜ)=1−P(A)；A⊆B ⇒ P(A)≤P(B)；单调性/有界性 0≤P(A)≤1。
- 加法公式（两事件）：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)——交集被加了两次要扣回。
- 三事件容斥：P(A∪B∪C)=ΣP(A)−ΣP(A∩B)+P(A∩B∩C)——奇加偶减的容斥原理。
- De Morgan 律：(A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ；(A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ——"至少一个发生"的补集是"都不发生"。
- 互不相容 vs 独立（高频混淆）：互不相容 = P(A∩B)=0（不能同时发生）；独立 = P(A∩B)=P(A)P(B)（互不影响）——两者几乎相反：互不相容的正概率事件必不独立。
原理与机制
容斥为什么成立：把概率想成"面积"——两圆叠加时交集的面积被 P(A)+P(B) 数了两次，减一次正好。n 个事件的容斥（奇加偶减）同理：每个点被计入的次数恰好 1 次。容斥的计数版就是 kp-005 的排列组合工具。
为什么用"补集 + De Morgan"常常更快：P(至少一次命中)=1−P(全不命中)——把"长或"化成"短乘"（独立时），这是生日问题、轰炸问题、备份系统可靠性的标准解法（连乘结构 kp-029 详解）。
公理的可列可加性为什么重要：它让概率论能处理无限结果空间（无穷次抛硬币），并把"连续分布"的构造合法化——这是古典频率定义做不到的（kp-033 历史线：Kolmogorov 1933 公理化的动机）。
图示
公理: P(A)≥0 ; P(Ω)=1 ; 互不相容 ⇒ P(∪Aᵢ)=ΣP(Aᵢ)
推论: P(Aᶜ)=1−P(A) ; P(∅)=0 ; 单调性
加法: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) (容斥)
三事件: ΣP − ΣP∩ + P(A∩B∩C) (奇加偶减)
De Morgan: (A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ → "至少一"=1−"全不"
辨析: 互不相容(P∩B=0) ≠ 独立(P∩B=PAPB)直观类比
概率像"分配 100% 的票房"：公理说"每部片份额非负、总份额恰好 100%、多部片打包的份额=各片之和（若档期完全错开）"；加法公式像"两家影厅重叠场次只算一次"；De Morgan 像"没看过 A 或 B 的人=既没看 A 也没看 B 的人"。
实例或案例
- 系统可靠性：两个独立组件（各 0.9 可靠）并联系统 P(至少一工作)=1−0.1²=0.99——De Morgan+独立乘法（kp-005）。
- 抽牌：P(红或 A)=13/52+4/52−1/52=16/52——加法公式扣回红 A。
- 生日问题骨架：P(至少两人同生日)=1−P(全不同)=1−(连乘)——补集+独立连乘（kp-029 完整版）。
常见误区
- 误区一："P(A∪B)=P(A)+P(B) 总是成立"。只在互不相容时；一般要减交集——重叠事件直接相加必然高估。
- 误区二："互不相容=独立"。反例：抛一枚硬币，正面与反面互不相容但强相关（知道正面则反面概率为 0≠1/2）。
- 误区三："可列可加对不可列集也照搬"。不可列的不可数并需要测度论（本库边界外，README 已声明）；初等层面所有事件都是可数运算可及的。
与其他知识点的关系
自测题
- P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(A∩B)=0.2，求 P(A∪B) 与 P(两者都不发生)。
答：0.4+0.5−0.2=0.7；都不发生=P((A∪B)ᶜ)=0.3。
- 证明：若 A、B 互不相容且 P(A),P(B)>0，则 A、B 不独立。
答：独立要求 P(A∩B)=P(A)P(B)>0，但互不相容给出 P(A∩B)=0——矛盾。
- 用 De Morgan 把 P(至少一个传感器故障) 转为乘积形式（独立、各故障率 p）。
答：=1−P(全部正常)=1−(1−p)ⁿ。
延伸阅读
- Blitzstein & Hwang 第 2 章（非互斥事件的加法公式与匹配问题）。
- Kolmogorov《Foundations of the Theory of Probability》。
- 浙大《概率论与数理统计》第 1 章（容斥与 De Morgan 练习）。