随机变量函数的分布：分布的传递
本文基于模型知识整理（生成时未联网核对），CDF 法与 Jacobian 公式建议对照 Blitzstein & Hwang 第 8 章复核。
一句话定义
已知 X 的分布，求 $Y=g(X)$ 的分布有两把万能钥匙：CDF 法（$F_Y(y)=P(g(X)\le y)$，把事件翻译回 X 再求导，单调时得 $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$）与卷积（独立和 $Z=X+Y$ 的密度 $f_Z=\int f_X(t)f_Y(z-t)dt$）——"分布会沿函数传导"是概率建模的传送带。
为什么重要
它回答"转换之后的量服从什么"：对数收益（正态→对数正态）、卡方（正态平方和，检验 kp-021 的燃料）、卷积（独立噪声叠加）、标准化（任意→标准形态）——统计推断的抽样分布（kp-017）、采样方法（kp-027）、多元正态的线性变换（kp-023）都是本条的直接应用。
前置知识
kp-006（CDF/PDF）、kp-009（连续分布）、kp-014 微积分换元（微积分姊妹篇）。
核心概念
- CDF 法（万能）：三步——写 $F_Y(y)=P(g(X)\le y)$ → 把不等式翻译成 X 的事件（分段讨论 g 的单调性）→ 用 X 的分布求出并对 y 求导。离散型直接枚举取值（PMF 映射+合并）。
- 单调连续变换公式：$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot|J|$，$J=\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$——微积分换元（微积分姊妹篇）的概率版；J 是"坐标拉伸率"（kp-011 行列式的单变量亲戚）。
- 卷积（独立和）：$f_{X+Y}(z)=\int f_X(t)f_Y(z-t)dt$——"和的分布=密度的卷积"；离散版把 ∫ 换 Σ。
- 常见变换结论包：
- 线性 $aX+b$：正态/均匀/指数族内自封（正态线性仍正态）； - $X\sim N(0,1)$ ⇒ $X^2\sim\chi^2_1$；n 个独立平方和 ⇒ $\chi^2_n$（抽样分布 kp-017）； - $\ln X$：对数正态（重尾建模 kp-030 的对照）； - 均匀的函数：$-\ln U\sim$ Exp(1)（逆变换采样的核心算式 kp-027）。
- 多变量版预告：$(X,Y)\to(U,V)$ 的联合变换用二维 Jacobian 行列式（kp-026 极坐标换元的严格化）。
原理与机制
为什么 CDF 法万能：它不背任何公式，只做"事件的翻译"——任何 g（含非单调、分段）都能通过分段讨论落到 X 的已知分布上；Jacobian 公式只是"严格单调+可导"这一特例的闭式结论。先学 CDF 法，Jacobian 是快捷键。
卷积的物理直觉：两个独立随机量相加，和取 z 的方式有无穷多种（X 取 t 则 Y 必取 z−t）——把每种方式的概率密度相乘并积遍所有 t，就是"所有路径的概率总和"。正态和正态=正态（卷积在正态族内自封）正是 CLT 之外正态普遍性的另一支柱。
Jacobian 的来源：PDF 是密度（单位长度的概率浓度）；y 轴上的间隔 dy 对应 x 轴上的间隔 $\left|g^{-1}\right|'dy$——间隔被拉伸 J 倍，浓度就稀释 J 倍（面积守恒）。与 kp-014 的 dx 换元完全同构。
图示
CDF法: F_Y(y)=P(g(X)≤y) → 译回X的事件 → 求导
单调: f_Y(y)=f_X(g⁻¹(y))·|(g⁻¹)′(y)| (Jacobian=拉伸率)
卷积: f_{X+Y}(z)=∫f_X(t)f_Y(z−t)dt (独立和)
结论包: aX+b(族内自封) | X²→χ² | −lnU→Exp(1) | lnX→对数正态直观类比
分布传导像"布料染色"：原分布是布料（X），函数 g 是染色工艺——CDF 法是"逐点查色号"，Jacobian 是"布料在 y 处被拉伸多少倍，颜色就稀释多少倍"。卷积则是"两块布叠加处的颜色=两处颜色乘积的累积"。
实例或案例
- 卡方的诞生：k 个独立标准正态平方和 → $\chi^2_k$——方差检验与拟合优度检验的抽样分布（kp-017/021）。
- 对数正态建模：股价 $S_T=S_0e^{rT}$（对数收益近正态）——金融实证的正态假设落点与肥尾修正。
- 逆变换采样：$X=F^{-1}(U)$——CDF 法倒着用，从均匀制造任意分布（kp-027）。
常见误区
- 误区一："f_Y(y)=f_X(g(y)) 直接代入"。漏掉 Jacobian |(g⁻¹)′|——拉伸/压缩对密度的稀释/浓缩被忽略，结果在缓变区系统性偏差。
- 误区二："非单调函数硬套单调公式"。X² 在全轴非单调——必须分半轴两支相加（|y| 的双支）或退回 CDF 法。
- 误区三："和的分布=分布的和"。$X+Y$ 的分布是卷积不是 $F_X+F_Y$（那是和的概率不是分布函数）——语言混淆型错误。
与其他知识点的关系
自测题
- X~U(0,1)：求 $Y=X^2$ 的密度。
答：$g^{-1}(y)=\sqrt y$，Jacobian $=\frac1{2\sqrt y}$ → $f_Y=\frac1{2\sqrt y}$，y∈(0,1)。
- X~Exp(1)：证明 $2X\sim$ Exp(1/2)（即 χ²₂）。
答：线性变换 2x → 密度 $\frac12e^{-y/2}$，恰为 χ²₂ 的密度。
- 离散示范：X∈{−1,0,1} 各 1/3，求 Y=X² 的分布。
答：PMF 映射+合并：P(Y=0)=1/3，P(Y=1)=2/3（−1 与 1 合并）。
延伸阅读
- Blitzstein & Hwang 第 8 章（变换与卷积的完整章）。
- Wasserman《All of Statistics》第 5 章（抽样分布的变换推导）。
- Casella & Berger《Statistical Inference》§2.1–2.3（研究生级严格版）。