离散分布速查：伯努利到泊松
本文基于模型知识整理（生成时未联网核对），公式与性质建议对照 Blitzstein & Hwang 第 3–4 章复核。
一句话定义
离散分布家族按"计数什么"分层：伯努利（一次成败）→ 二项（n 次独立成败的总成功数）→ 几何（首次成功前的等待）→ 泊松（单位时间的稀有事件数，二项的 λ 极限）——四个"计数模型"覆盖了绝大多数离散建模需求，识别场景比背公式重要。
为什么重要
它们是离散建模的"默认模板库"：AB 实验的转化数（二项）、客服电话到达数（泊松）、首次故障时间（几何）、任何 yes/no 特征（伯努利）。识别"这是 n 次独立伯努利的成功数"这类结构，比推导公式更核心——分布选型能力是概率建模的第一技能。
前置知识
kp-005（组合与独立性）、kp-006/007（分布与期望）。
核心概念（速查表）
| 分布 | 场景 | PMF | E | Var |
|---|---|---|---|---|
| 伯努利 Ber(p) | 单次成败 | $p^k(1-p)^{1-k}$, k∈{0,1} | p | p(1−p) |
| 二项 Bin(n,p) | n 独立伯努利的成功数 | $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ | np | np(1−p) |
| 几何 Geo(p) | 首次成功前的失败次数 | $(1-p)^{k}p$, k=0,1,… | $\frac{1-p}{p}$ | $\frac{1-p}{p^2}$ |
| 泊松 Pois(λ) | 单位时间稀有事件数 | $\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$ | λ | λ |
- 泊松是二项的极限：n→∞、p→0、np=λ（稀有+大量试验）——"每千人中中奖"这类小概率大样本问题归泊松；λ 的可加性（独立泊松相加仍泊松，λ 相加）。
- 泊松的"事件独立+速率恒定"假设：乘客到达、网页点击、 radioactive 衰减计数——假设破坏（高峰时段）时要换非齐次泊松。
- 几何的无记忆性：P(再等 k|已等 m)=P(等 k)——"等了半天白等了"的数学化；连续对应物是指数分布（kp-009）。
- 超几何（不放回抽样，本章附带）：$\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$——抽牌/质检不放回场景；大 N 时趋近二项。
原理与机制
二项公式的三件套来源：成功 k 次的概率 $p^k(1-p)^{n-k}$（独立连乘）× 位置选择 $\binom nk$（kp-005 组合）——"概率×计数"的模范结构。期望 np 的最优雅证明：指示变量法 $X=\sum X_i$，线性性免独立性（kp-007）。
泊松极限为什么重要：真实世界的"大量尝试×小概率"（一年内每班机坠毁）用二项参数难写、用 λ 一目了然；同时 λ 可加性使"多源到达"建模可加（两路电话合并为一个泊松 λ₁+λ₂）——模型组合性是工程选型的隐藏福利。
几何/指数的无记忆性为什么是"特征"而非"缺陷"：它把"过去等待"从模型中剔除，大幅简化排队/可靠性计算；反过来，若现实有老化（机器越旧越易坏），无记忆性失效——换 Weibull 等风险率分布。无记忆性是选型诊断器。
图示
伯努利(一次) → 二项(n次计数) → 泊松(n大p小, λ=np)
↘ 几何(首次等待) ⇄ 指数(连续版, kp-009)
二项: P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)^{n−k} ; E=np ; Var=np(1−p)
泊松: P(X=k)=e^{−λ}λᵏ/k! ; E=Var=λ (均值=方差 是泊松指纹)
超几何: 不放回 → 大N退化为二项直观类比
二项是"射十箭记中靶数"；几何是"连打直到第一次命中，数空放次数"；泊松是"统计一小时内电话铃响次数"——三个故事对应三个分布，场景对上模型就对上。
实例或案例
- AB 检验：A 组 1000 人 52 转化——二项模型+正态近似（kp-015 CLT）做显著性。
- 网站请求建模：每分钟请求 Pois(λ=50)，容量规划按 P(X>容量) 定机器数。
- 病理筛查：n=10000 独立检测、单阳性率 0.1% → 泊松 λ=10，"≥5 阳性"概率用泊松尾计算。
常见误区
- 误区一："n 次抽样都套二项"。二项要独立+同概率；不放回抽样是超几何（大总体近似才退化为二项）。
- 误区二："泊松的 Var=E 是巧合可通用"。均值>方差（过散布）时泊松不合适（换负二项）；先做均值方差诊断。
- 误区三："几何分布从 1 计数还是从 0 计数混用"。两种教材约定（首次成功=第 k 次 vs 前k次全败）期望差 1——对表时先对约定。
与其他知识点的关系
自测题
- 独立投篮 10 次、命中率 0.7：恰中 8 次的概率与期望命中数。
答：$\binom{10}{8}0.7^8 0.3^2≈0.233$；E=7。
- 客服中心每分钟 Pois(4)：两分钟内来 5 通的概率？
答：λ=8；$\frac{e^{-8}8^5}{5!}≈0.0916$（λ 可加）。
- 为什么"稀有事件的计次"天然导向泊松？
答：二项的 n→∞、p→0、np=λ 极限正是泊松——大量×稀少=泊松场景签名。
延伸阅读
- Blitzstein & Hwang 第 3–4 章（分布故事线）。
- Wasserman《All of Statistics》第 2 章。
- 《统计分布速查手册》（Evans 等的 Distribution compendium）。